세 조건 만족하는 정수의 합

문제

세 실수 $a, b, k$에 대하여 다음 세 가지 조건을 만족하는 정수 $a$의 개수를 $X$, 자연수 $b$의 개수를 $Y$, 자연수 $k$의 개수를 $Z$라고 하자.

(가) $N_1 = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{a^2 - 4a - 12}$이 자연수이다.

(나) $N_2 = \\log_b (256^{1/b^2})$이 자연수이다.

(다) $N_3 = \\sqrt[k]{k^{XY} - k + 1}$이 자연수이다.

$X+Y+Z$의 값을 구하시오.