자연수 조건과 거듭제곱근, 로그의 활용

문제

두 자연수 $a, b$가 $a \ge 2, b \ge 2$를 만족할 때, 다음 네 조건을 모두 만족시키는 $a, b$에 대하여 $\log_3 (ab)$의 값을 구하시오.

(가) $-a^3$의 $b$제곱근 중 실수인 것의 개수는 1이다. (나) 집합 $S = \{ x \mid x \text{는 } \log_b (a^3) \text{의 자연수 제곱근이다} \}$ 일 때, $S$의 원소의 개수는 1이다. (다) $\log_a (b^2)$의 값은 자연수 $M$이고, $M \ge 3$이다. (라) $a+b$의 값은 최소이다.