미분가능성과 다항함수 추론

문제

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f'(0)=0$이고 $f''(0) \ne 0$이다. (나) 함수 $g(x)=|f(x)-f(0)|$은 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하다. (다) 함수 $g(x)$는 극소점을 정확히 2개 가진다. (라) 함수 $f(x)$의 극댓값을 갖는 $x$ 좌표는 $1$보다 작다. (마) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선이 점 $(0, f(0))$을 지난다. (바) $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}$이다.

$f(2)$의 값을 구하시오.