삼차함수와 절댓값 함수의 미분가능성의 정답은?

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매우 어려움미분

삼차함수와 절댓값 함수의 미분가능성

주어진 조건을 만족하는 삼차함수의 특징을 파악하고, 절댓값 함수의 미분가능성 조건을 활용하여 상수를 결정한 후, 특정 함수의 최솟값을 구하는 고난도 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 2학년

문제

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$ 는 $x=1$ 과 $x=3$ 에서 극값을 갖는다. (나) 함수 $f(x)$ 의 극솟값은 $0$ 이다. (다) 함수 $g(x) = f'(x) - c$ 에 대하여 방정식 $g(x)=0$ 이 오직 하나의 실근을 갖고, 함수 $h(x)=|g(x)|$ 가 모든 실수 $x$ 에서 미분가능하도록 하는 실수 $c$ 가 오직 하나 존재한다. (라) 함수 $f(x)$ 의 극댓값은 $\\frac{8}{3}$ 이다.