진리집합의 원소 개수를 이용한 고난도 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 세 조건 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$를 다음과 같이 정의하자. \begin{itemize} \item $P(x): x \text{는 2의 배수이다.}$ \item $Q(x): x \text{는 3의 배수이다.}$ \item $R(x): x \text{는 5의 배수이다.}$ \end{itemize} 명제 $P(x) \land (Q(x) \leftrightarrow \neg R(x))$의 진리집합을 $X$라 하자. 집합 $S = \{k \in \mathbb{N} \mid k \text{는 } |X| \text{의 약수이다.}\}$일 때, 집합 $S$의 모든 원소의 합은?