집합과 명제의 관계 및 미지수 찾기

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 12 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 두 조건 $p(x)$ 와 $q(x)$ 의 진리집합을 각각 $P$ 와 $Q$ 라 하자. $P = \{x \mid x \text{는 } 12 \text{ 의 약수}, x \in U\}$ 이고 $Q = \{x \mid (x-a)(x-b) \le 0, x \in U\}$ 이다. (단, $a, b$ 는 자연수이고 $a < b$) 명제 "$p(x) \to q(x)$" 가 거짓이 되도록 하는 $x$ 가 오직 한 개 존재할 때, $a+b$ 의 최댓값은?