세 조건의 진리집합 관계

문제

실수 전체의 집합을 $U$라고 하자. 세 조건 $p(x)$, $q(x)$, $r(x)$가 다음과 같다.

$p(x): (x-k)(x-(k+2)) \le 0$

$q(x): |x-(m+1)| \le 1$

$r(x): x^2 - (2n+1)x + n(n+1) \le 0$

세 조건 $p(x), q(x), r(x)$의 진리집합을 각각 $P_k, Q_m, R_n$이라 하자. 정수 $k, m, n$에 대하여 명제 '$P_k$는 ($Q_m$ 또는 $R_n$)이기 위한 필요충분조건이다'가 성립할 때, $m$이 $1 \le m \le 10$을 만족하는 모든 경우의 순서쌍 $(k, n)$의 개수를 구하시오.

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