다항식 연산과 인수분해 활용 고난도 문제

문제

다항식 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$가 다음과 같이 주어져 있다. $P(x) = x^2+x-1$ $Q(x) = x^2-2x+3$ $P(x)^3+Q(x)^3+R(x)^3 = k \cdot P(x)Q(x)R(x)$를 만족하는 다항식 $R(x)$에 대하여, $R(x)$의 최고차항의 계수는 $-2$이고, 상수항은 $-2$이다. 이때, $P(x)^3+Q(x)^3+R(x)^3$을 전개했을 때, $x^3$의 계수를 구하시오. (단, $k$는 상수이다.)