무리함수와 유리함수, 그래프 위의 정수점 심화 문제

문제

함수 $f(x) = \sqrt{ax+b}$ (단, $a, b$는 상수)의 그래프는 직선 $y=x+1$에 점 $(2,3)$에서 접한다. 유리함수 $g(x) = \frac{ax+b-3}{x-2}$에 대하여, $y = |g(x)-6|$의 그래프 위에 있는 점 $(p,q)$ 중 $p$는 정수이고 $q$는 자연수인 점의 개수는?