함수 그래프의 특성과 교점 문제

문제

함수 $f(x) = \frac{kx+4}{x+1}$와 $g(x) = \sqrt{x-a}+b$에 대하여 다음 조건들을 모두 만족시키는 모든 자연수 $k$ 값들의 합을 구하시오.

(단, $a, b$는 상수이다.)

(가) 함수 $f(x)$의 점근선의 교점이 함수 $g(x)$의 그래프 위에 있다. (나) 함수 $g(x)$의 그래프는 직선 $y=x+3$에 접한다. (다) 함수 $f(x)$의 그래프는 직선 $y=x$와 서로 다른 두 점에서 만난다.