이차방정식의 근과 계수 및 정수 조건 활용 문제

문제

계수가 정수인 이차방정식 $x^2 - ax + b = 0$ 이 서로 다른 두 정수근을 갖는다. 이 이차방정식의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때, 두 수 $\alpha-1$ 과 $\beta-1$ 을 근으로 하는 새로운 이차방정식의 두 근의 곱은 $12$이다. $a+b$ 의 가능한 모든 값들의 합은?