이차방정식의 근과 계수의 관계 활용

문제

이차방정식 $x^2 - (k+2)x + (k+1) = 0$의 두 실근 $\alpha, \beta$가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 정수 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (나) $\alpha^2 + \beta^2 = 10$