원과 직선의 복합 관계 탐구

문제

좌표평면에서 원 $C$는 중심이 직선 $y=x$ 위에 있고 $y$축에 접하며, 점 $A(4,2)$를 지난다. 이 조건을 만족하는 원은 두 개 존재한다. 이 중 반지름의 길이가 더 큰 원을 $C_L$이라고 하자. 원 $C_L$과 원점 $O(0,0)$을 지나는 직선 $L$이 서로 다른 두 점 $P, Q$에서 만날 때, 선분 $PQ$의 길이가 $10\sqrt{2}$이다. 이러한 조건을 만족하는 모든 직선 $L$의 기울기의 곱은?