지수법칙과 로그

지수법칙

거듭제곱의 연산에서 사용되는 기본 법칙입니다.

기본 성질

$a > 0$, $a \neq 1$이고, $m$, $n$이 실수일 때:

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{mn}$

$(ab)^n = a^n b^n$

거듭제곱근과 유리수 지수

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

핵심 전략: 밑이 다른 거듭제곱이 나오면 밑을 통일한 후 지수법칙을 적용합니다.

---

로그의 정의

$a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$일 때:

$\log_a b = c \iff a^c = b$

로그의 성질

$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$

$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$

$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

$\log_a M^k = k \log_a M$

밑 변환 공식

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

특히, $a = c^k$일 때:

$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$

핵심 전략: 밑이 다른 로그가 등식으로 연결되어 있으면 밑 변환 공식으로 밑을 통일합니다.

---

진수 조건

로그의 진수는 반드시 양수여야 합니다. 로그 방정식을 풀 때 반드시 진수 조건을 확인하세요:

• $\log_a f(x)$가 정의되려면 $f(x) > 0$

이 조건을 확인하지 않으면 허근을 정답으로 채택하는 실수를 하게 됩니다.