수열의 극한과 무한급수의 합

문제

수열 $a_n = \sqrt{n^2 + 4n} - n$ 에 대하여 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ 이라 할 때, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{L} \right)^n$ 의 값은?

(1) 1 (2) 2 (3) $\frac{1}{2}$ (4) $\frac{1}{3}$ (5) $\frac{4}{3}$